Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$.
a) $A=\ln 24$
b) $B=\ln\left(\dfrac{9}{16}\right)$
c) $C=3\ln 12-2\ln 18$
d) $D=\ln\left(\sqrt{72}\right)$
Décomposer $24$, $9$, $16$, $12$, $18$ et $72$ en produits de puissances de $2$ et de $3$.
Appliquer ensuite $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\frac ab=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^n)=n\ln a$.
Pour d), commencer par $\ln\sqrt a=\frac12\ln a$.
a) $24=2^3\times3$, donc $A=\ln(2^3)+\ln 3=3\ln 2+\ln 3$.
b) $9=3^2$ et $16=2^4$, donc $B=\ln(3^2)-\ln(2^4)=2\ln 3-4\ln 2$.
c) $12=2^2\times 3$ et $18=2\times3^2$. Ainsi : $$3\ln12=3(2\ln2+\ln3)=6\ln2+3\ln3,\qquad 2\ln18=2(\ln2+2\ln3)=2\ln2+4\ln3.$$ Donc $C=6\ln2+3\ln3-2\ln2-4\ln3=4\ln2-\ln3$.
d) $72=2^3\times3^2$, donc $$D=\frac12\ln72=\frac12\left(3\ln2+2\ln3\right)=\frac32\ln2+\ln3.$$
$A=3\ln2+\ln3$ ; $B=2\ln3-4\ln2$ ; $C=4\ln2-\ln3$ ; $D=\frac32\ln2+\ln3$