Calculer sans calculatrice les nombres suivants.
a) $A=e^{\ln 3}$
b) $B=\ln(e^{-4})$
c) $C=e^{-\ln 2}$
d) $D=\ln\left(\dfrac{1}{e^2}\right)$
e) $E=e^{3\ln 2}$
f) $F=\ln(e\sqrt e)$
Pour $x>0$, $e^{\ln x}=x$. Pour tout réel $x$, $\ln(e^x)=x$.
Pour c) et e), utiliser $e^{-a}=\dfrac1{e^a}$ et $e^{na}=\left(e^a\right)^n$.
Pour d) et f), écrire le nombre entre parenthèses sous la forme $e^k$.
a) Comme $3>0$, $e^{\ln 3}=3$. Donc $A=3$.
b) Pour tout réel $x$, $\ln(e^x)=x$. Donc $B=\ln(e^{-4})=-4$.
c) $C=e^{-\ln 2}=\dfrac{1}{e^{\ln 2}}=\dfrac12$.
d) $\dfrac1{e^2}=e^{-2}$, donc $D=\ln(e^{-2})=-2$.
e) $E=e^{3\ln 2}=\left(e^{\ln 2}\right)^3=2^3=8$.
f) $e\sqrt e=e^1\times e^{\frac12}=e^{\frac32}$, donc $F=\ln\left(e^{\frac32}\right)=\dfrac32$.
Autre méthode pour f) : $F=\ln e+\ln\sqrt e=1+\dfrac12\ln e=1+\dfrac12=\dfrac32$.
$A=3$, $B=-4$, $C=\frac12$, $D=-2$, $E=8$, $F=\frac32$