Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.
a) $\ln x=2$
b) $e^x=7$
c) $\ln(2x+1)=0$
d) $e^{3x-1}=4$
e) $e^x+1=0$
Pour une équation avec $\ln$, commencer par écrire la condition d'existence.
Utiliser $\ln a=k\iff a=e^k$ et, pour $m>0$, $e^x=m\iff x=\ln m$.
Pour e), se rappeler le signe d'une exponentielle.
a) Domaine : $x>0$. Sur $]0\,;+\infty[$, $\ln x=2\iff x=e^2$. Comme $e^2>0$ : $\mathcal S=\{e^2\}$.
b) $7>0$, donc $e^x=7\iff x=\ln7$ : $\mathcal S=\{\ln 7\}$.
c) Domaine : $2x+1>0\iff x>-\frac12$. Sur $D=\left]-\frac12\,;+\infty\right[$ : $$\ln(2x+1)=0\iff\ln(2x+1)=\ln1\iff 2x+1=1\iff x=0.$$ Comme $0\in D$ : $\mathcal S=\{0\}$.
d) $4>0$, donc $e^{3x-1}=4\iff 3x-1=\ln4\iff x=\dfrac{1+\ln4}{3}=\dfrac{1+2\ln2}{3}$.
$\mathcal S=\left\{\dfrac{1+2\ln2}{3}\right\}$.
e) $e^x+1=0\iff e^x=-1$. Or $e^x>0$ pour tout réel $x$ : l'équation n'a pas de solution, $\mathcal S=\varnothing$.
a) $\{e^2\}$ ; b) $\{\ln7\}$ ; c) $\{0\}$ ; d) $\left\{\frac{1+2\ln2}{3}\right\}$ ; e) $\varnothing$