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Exprimer un logarithme en fonction de ln 2 et ln 3 : méthode (Terminale spé)

Méthode

Exprimer un logarithme en fonction de ln 2 et ln 3

Décomposer le nombre (ou le numérateur et le dénominateur) en produit de puissances de $2$ et de $3$.
Appliquer $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\frac ab=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^n)=n\ln a$.

Exemple : $\ln\left(\frac{72}{16}\right)=\ln(2^3\times3^2)-\ln(2^4)=3\ln2+2\ln3-4\ln2=2\ln3-\ln2$.

Attention

Ce qui est faux

$\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$ en général. Par exemple $\ln(1+1)=\ln 2\approx0{,}69$ alors que $\ln1+\ln1=0$.
$(\ln a)^2\neq\ln(a^2)$ : pour $a=e$, $(\ln e)^2=1$ et $\ln(e^2)=2$.
$\ln(x^2)=2\ln x$ seulement si $x>0$. Pour tout réel $x\neq0$, on a $\ln(x^2)=2\ln|x|$.

S’entraîner