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Dérivées de fonctions composées : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Dérivées de fonctions composées
Soit $a$ et $b$ deux réels et $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- $x \mapsto \sin(ax+b)$ a pour dérivée $x \mapsto a\cos(ax+b)$ ;
- $x \mapsto \cos(ax+b)$ a pour dérivée $x \mapsto -a\sin(ax+b)$ ;
- $\sin(u)$ est dérivable sur $I$ et $(\sin u)' = u'\cos u$ ;
- $\cos(u)$ est dérivable sur $I$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$.
Ce sont des cas particuliers de la formule $(g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)$.
Exemple
Calculs de dérivées
Toutes les fonctions ci-dessous sont dérivables sur $\mathbb{R}$.
- $f_1(x) = 3\sin x - 2\cos x$ : $f_1'(x) = 3\cos x + 2\sin x$.
- $f_2(x) = \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$ : $f_2'(x) = -4\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)$.
- $f_3(x) = x\cos x$ (produit) : $f_3'(x) = 1\times\cos x + x \times(-\sin x) = \cos x - x\sin x$.
- $f_4(x) = \sin^2 x = (\sin x)^2$ : avec $(u^2)' = 2u'u$, $f_4'(x) = 2\cos x\sin x$.
- $f_5(x) = \mathrm{e}^{\cos x}$ : avec $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$, $f_5'(x) = -\sin x\,\mathrm{e}^{\cos x}$.
- $f_6(x) = \sin(x^2)$ : avec $u(x) = x^2$, $f_6'(x) = 2x\cos(x^2)$.
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Fonctions sinus et cosinus : Dérivées de fonctions composées