On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(4x)$ et $g(x) = \sin x\cos x$, et la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $h(x) = \dfrac{\sin x}{x}$.
- Montrer que $f$ est paire et $\frac{\pi}{2}$-périodique. En déduire un intervalle d'étude le plus court possible pour $f$.
- Montrer que $g$ est impaire et $\pi$-périodique.
- Montrer que $h$ est paire. Montrer que $h$ n'est pas $2\pi$-périodique.
Pour la période de $\cos(ax)$, le cours donne $T = \frac{2\pi}{a}$.
Pour $g$, utiliser $\sin(x+\pi) = -\sin x$ et $\cos(x+\pi) = -\cos x$.
Pour $h$, comparer $h\left(\frac{\pi}{2}\right)$ et $h\left(\frac{\pi}{2}+2\pi\right)$.
1. $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$. Pour tout réel $x$, $f(-x) = \cos(-4x) = \cos(4x) = f(x)$ car cosinus est paire : $f$ est paire.
Pour tout réel $x$, $f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(4x + 2\pi) = \cos(4x) = f(x)$ : $f$ est $\frac{\pi}{2}$-périodique.
$f$ étant $T$-périodique avec $T = \frac{\pi}{2}$ et paire, il suffit de l'étudier sur $\left[0\,;\frac{T}{2}\right] = \left[0\,;\frac{\pi}{4}\right]$, puis de compléter la courbe par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées et par translations de vecteurs $k\frac{\pi}{2}\vec{\imath}$.
2. Pour tout réel $x$ : $g(-x) = \sin(-x)\cos(-x) = (-\sin x)\cos x = -g(x)$ : $g$ est impaire.
$g(x+\pi) = \sin(x+\pi)\cos(x+\pi) = (-\sin x)(-\cos x) = \sin x\cos x = g(x)$ : $g$ est $\pi$-périodique.
3. $\mathbb{R}^*$ est symétrique par rapport à $0$. Pour tout $x \neq 0$ : $$h(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = h(x).$$ $h$ est paire.
On a $h\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{\pi/2} = \frac{2}{\pi}$ et $h\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \frac{\sin\frac{5\pi}{2}}{5\pi/2} = \frac{1}{5\pi/2} = \frac{2}{5\pi}$. Ces deux valeurs sont différentes, donc l'égalité $h(x+2\pi) = h(x)$ est fausse pour $x = \frac{\pi}{2}$ : $h$ n'est pas $2\pi$-périodique.
f paire, π/2-périodique, étude sur [0 ; π/4] ; g impaire, π-périodique ; h paire, non 2π-périodique