Dérivées de sin et cos : énoncé (Terminale spé)
Dérivées de sin et cos
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$ : $$\sin'(x) = \cos x \qquad \cos'(x) = -\sin x.$$ La première formule est admise conformément au programme. La seconde s'en déduit.
Démonstration : Dérivées de sin et cos
Dérivée de cosinus à partir de celle de sinus
Pour tout réel $x$, la formule des angles associés donne $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.
La fonction $x \mapsto \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ est de la forme $x \mapsto g(ax+b)$ avec $g = \sin$, $a = 1$, $b = \frac{\pi}{2}$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $x \mapsto 1 \times \sin'\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$.
Or $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = -\sin x$. Donc cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\cos'(x) = -\sin x$.
S’entraîner
- Valeurs exactes sans calculatrice
- Calculs de dérivées
- Parité et périodicité de trois fonctions
- Équations trigonométriques élémentaires
- Limites avec sin x / x