Dériver sin et cosDériver une fonction composéeDériver un produit, un quotient
Les fonctions suivantes sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. Calculer leur dérivée.
- $f_1(x) = 2\cos x - 5\sin x$ ;
- $f_2(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$ ;
- $f_3(x) = x^2\sin x$ ;
- $f_4(x) = \dfrac{\cos x}{x^2+1}$ ;
- $f_5(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3$.
Indice 1
Pour $f_2$, la fonction intérieure est $u(x) = 3x - \frac{\pi}{4}$ : calculer $u'$ d'abord.
Indice 2
Pour $f_4$, utiliser $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ; le dénominateur ne s'annule pas.
Indice 3
Pour $f_5$, utiliser $(u^3)' = 3u'u^2$ avec $u = \cos$.
Corrigé
- $f_1'(x) = 2\times(-\sin x) - 5\cos x = -2\sin x - 5\cos x$.
- $f_2$ est de la forme $\sin(ax+b)$ avec $a = 3$ : $f_2'(x) = 3\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$.
- $f_3 = uv$ avec $u(x) = x^2$, $v(x) = \sin x$ : $f_3'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x = x(2\sin x + x\cos x)$.
- $f_4 = \frac{u}{v}$ avec $u(x) = \cos x$, $u'(x) = -\sin x$, $v(x) = x^2+1$, $v'(x) = 2x$, et $v(x) \geqslant 1 > 0$ : $$f_4'(x) = \frac{-\sin x\,(x^2+1) - 2x\cos x}{(x^2+1)^2} = -\frac{(x^2+1)\sin x + 2x\cos x}{(x^2+1)^2}.$$
- $f_5 = u^3$ avec $u = \cos$, $u' = -\sin$ : $f_5'(x) = 3\times(-\sin x)\times\cos^2 x = -3\sin x\cos^2 x$.
Résultat :
f1' = −2sin x − 5cos x ; f2' = 3cos(3x − π/4) ; f3' = 2x sin x + x² cos x ; f4' = −((x²+1)sin x + 2x cos x)/(x²+1)² ; f5' = −3 sin x cos² x