Calculer la limite d'une composée : méthode (Terminale spé)
Calculer la limite d'une composée
- On repère la fonction « intérieure » $u$ et la fonction « extérieure » $v$ : $f(x)=v(u(x))$.
- On calcule $b=\lim_{x\to a}u(x)$.
- On pose $X=u(x)$ et on calcule $c=\lim_{X\to b}v(X)$.
- On conclut par composition : $\lim_{x\to a}f(x)=c$.
Sur une copie, on écrit explicitement « on pose $X=\dots$ » et on cite le théorème de composition.
Trois composées
1. $\lim_{x\to+\infty}e^{-x^2}$. On pose $X=-x^2$ : $\lim_{x\to+\infty}(-x^2)=-\infty$ et $\lim_{X\to-\infty}e^X=0$. Par composition, $\lim_{x\to+\infty}e^{-x^2}=0$. Le même raisonnement donne la même limite en $-\infty$.
2. $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{4x+1}{x+3}}$. Pour $x>0$, $\dfrac{4x+1}{x+3}=\dfrac{4+\frac1x}{1+\frac3x}$, qui tend vers $4$. On pose $X=\dfrac{4x+1}{x+3}$ ; comme $\lim_{X\to4}\sqrt X=\sqrt4=2$, par composition la limite cherchée vaut $2$.
3. $f(x)=e^{1/x}$ en $0$. À droite : $\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty$ et $\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty$, donc $\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$. À gauche : $\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty$ et $\lim_{X\to-\infty}e^X=0$, donc $\lim_{x\to0^-}f(x)=0$. La droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe, du côté droit seulement.
L'ordre compte
Dans $v(u(x))$, on calcule d'abord la limite de la fonction intérieure $u$. Pour $e^{-x^2}$, la fonction intérieure est $x\mapsto-x^2$ et la fonction extérieure est l'exponentielle, pas l'inverse. Une erreur d'ordre conduit à un calcul sans rapport avec la fonction étudiée.
S’entraîner
- Asymptotes d'une fonction homographique
- Limites de fonctions composées
- Formes 0/0 en un réel
- Trois asymptotes pour une fonction rationnelle
- Une fonction plate en 0
Dans le cours
Limites de fonctions : Calculer la limite d'une composée