Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1;2\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$.
a) Déterminer $\lim_{x\to2}f(x)$.
b) Déterminer les limites de $f$ à gauche et à droite en $1$.
c) Déterminer $\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt x-1}{x-1}$.
d) Déterminer $\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$.
Pour a), numérateur et dénominateur s'annulent en $2$ : factoriser les deux par $x-2$.
Pour b), le numérateur ne tend pas vers $0$ : étudier le signe du dénominateur autour de $1$.
Pour c) et d), penser à $x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$ ou à un taux d'accroissement de l'exponentielle après le changement de variable $X=2x$.
a) En $2$, le numérateur et le dénominateur tendent vers $0$ : forme $\frac00$. On factorise : $x^2-4=(x-2)(x+2)$ et $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ (on vérifie : $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$). Pour $x\notin\{1;2\}$ : $$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+2}{x-1}.$$ Donc $\lim_{x\to2}f(x)=\dfrac{2+2}{2-1}=4$.
b) D'après a), $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$ au voisinage de $1$ (pour $x\neq1$ et $x\neq2$). Le numérateur tend vers $3>0$. On a $x-1>0$ pour $x>1$ et $x-1<0$ pour $x<1$, donc $\lim_{x\to1^+}(x-1)=0^+$ et $\lim_{x\to1^-}(x-1)=0^-$. Par quotient : $\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty$. La droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale à la courbe de $f$.
c) Forme $\frac00$. Pour $x\geq0$ et $x\neq1$ : $x-1=(\sqrt x)^2-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)$, donc $$\frac{\sqrt x-1}{x-1}=\frac{1}{\sqrt x+1}.$$ Comme $\sqrt x\to1$ quand $x\to1$, la limite vaut $\dfrac12$.
d) Forme $\frac00$. Pour $x\neq0$, on pose $X=2x$ : $$\frac{e^{2x}-1}{x}=2\times\frac{e^{X}-1}{X}.$$ Quand $x\to0$, $X\to0$, et $\lim_{X\to0}\dfrac{e^X-1}{X}=1$ (nombre dérivé de l'exponentielle en $0$). Par composition puis produit, $\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}=2$.
a) $4$ ; b) $-\infty$ en $1^-$, $+\infty$ en $1^+$ ; c) $\frac12$ ; d) $2$