Déterminer les limites suivantes en citant le théorème de composition.
a) $\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{1-x}{x+2}}$
b) $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{9x^2-1}{x^2+2}}$
c) $\lim_{x\to0^+}e^{-\frac1x}$
d) Les limites en $+\infty$ et en $-\infty$ de $g(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$. Interpréter graphiquement.
Repérer la fonction intérieure et calculer sa limite en premier.
Poser $X$ égal à la fonction intérieure, puis chercher la limite de la fonction extérieure quand $X$ tend vers la valeur trouvée.
Pour c), le signe compte : quand $x\to0^+$, $\frac1x\to+\infty$.
a) Pour $x>0$ : $\dfrac{1-x}{x+2}=\dfrac{\frac1x-1}{1+\frac2x}$, qui tend vers $\dfrac{-1}{1}=-1$ en $+\infty$. On pose $X=\dfrac{1-x}{x+2}$ : $X\to-1$ et $\lim_{X\to-1}e^X=e^{-1}$. Par composition, $\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{1-x}{x+2}}=e^{-1}$.
b) Pour $x\neq0$ : $\dfrac{9x^2-1}{x^2+2}=\dfrac{9-\frac1{x^2}}{1+\frac2{x^2}}$, qui tend vers $9$ en $+\infty$. On pose $X=\dfrac{9x^2-1}{x^2+2}$ (positif pour $x>\frac13$) : $X\to9$ et $\lim_{X\to9}\sqrt X=3$. Par composition, la limite vaut $3$.
c) Quand $x\to0^+$, $\frac1x\to+\infty$, donc $-\frac1x\to-\infty$. On pose $X=-\frac1x$ : $\lim_{X\to-\infty}e^X=0$. Par composition, $\lim_{x\to0^+}e^{-\frac1x}=0$.
d) En $+\infty$ : $-x\to-\infty$ et $\lim_{X\to-\infty}e^X=0$, donc par composition $e^{-x}\to0$. Alors $1+e^{-x}\to1$ et, par quotient, $\lim_{x\to+\infty}g(x)=1$.
En $-\infty$ : $-x\to+\infty$ et $\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty$, donc $e^{-x}\to+\infty$. Alors $1+e^{-x}\to+\infty$ et, par quotient, $\lim_{x\to-\infty}g(x)=0$.
La droite d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à la courbe de $g$ en $+\infty$, et l'axe des abscisses ($y=0$) l'est en $-\infty$.
a) $e^{-1}$ ; b) $3$ ; c) $0$ ; d) $1$ en $+\infty$, $0$ en $-\infty$