Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-4\}$ par $f(x)=\dfrac{1-2x}{x+4}$, et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
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Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Interpréter graphiquement.
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Déterminer les limites de $f$ à gauche et à droite en $-4$. Interpréter graphiquement.
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Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de son asymptote horizontale.
En l'infini, factoriser numérateur et dénominateur par $x$.
En $-4$, calculer la limite du numérateur, puis étudier le signe de $x+4$ de chaque côté de $-4$.
Pour la position, réduire $f(x)-(-2)$ au même dénominateur.
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Pour $x\neq0$ et $x\neq-4$ : $$f(x)=\frac{x\left(\frac1x-2\right)}{x\left(1+\frac4x\right)}=\frac{\frac1x-2}{1+\frac4x}.$$ Comme $\frac1x\to0$ en $+\infty$ et en $-\infty$, le numérateur tend vers $-2$ et le dénominateur vers $1$. Donc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=-2$. La droite $\Delta$ d'équation $y=-2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
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On a $\lim_{x\to-4}(1-2x)=1+8=9>0$. De plus $x+4>0$ pour $x>-4$ et $x+4<0$ pour $x<-4$, donc $\lim_{x\to-4^+}(x+4)=0^+$ et $\lim_{x\to-4^-}(x+4)=0^-$. Par quotient : $$\lim_{x\to-4^+}f(x)=+\infty\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to-4^-}f(x)=-\infty.$$ La droite d'équation $x=-4$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
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Pour $x\neq-4$ : $$f(x)-(-2)=\frac{1-2x+2(x+4)}{x+4}=\frac{9}{x+4}.$$ Ce quotient est du signe de $x+4$. Donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ sur $]-4;+\infty[$ et en dessous de $\Delta$ sur $]-\infty;-4[$. Comme $\frac9{x+4}$ ne s'annule jamais, $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$ n'ont aucun point commun.
Asymptotes $y=-2$ (en $\pm\infty$) et $x=-4$ ; $\lim_{x\to-4^-}f=-\infty$, $\lim_{x\to-4^+}f=+\infty$