Exercice corrigé : Une fonction plate en 0

1. Quand $x\to+\infty$, $-\frac1x\to0$ et $\lim_{X\to0}e^X=e^0=1$ : par composition $e^{-1/x}\to1$. Comme $\frac1x\to0$, par produit $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1\times0=0$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$.

2. Quand $x\to0^+$, $\frac1x\to+\infty$ et $e^{-1/x}\to0$ : forme $\infty\times0$. On pose $X=\frac1x$ : $f(x)=Xe^{-X}$. Quand $x\to0^+$, $X\to+\infty$, et par croissances comparées $\lim_{X\to+\infty}Xe^{-X}=0$. Par composition, $\lim_{x\to0^+}f(x)=0$.

3. On écrit $f(x)=u(x)v(x)$ avec $u(x)=\frac1x$, $u'(x)=-\frac1{x^2}$, et $v(x)=e^{-1/x}$. La fonction $x\mapsto-\frac1x$ a pour dérivée $\frac1{x^2}$, donc $v'(x)=\frac1{x^2}e^{-1/x}$. Ainsi $$f'(x)=-\frac1{x^2}e^{-1/x}+\frac1x\times\frac1{x^2}e^{-1/x}=e^{-1/x}\left(\frac1{x^3}-\frac1{x^2}\right)=\frac{(1-x)e^{-1/x}}{x^3}.$$ Pour $x>0$, $e^{-1/x}>0$ et $x^3>0$ : $f'(x)$ est du signe de $1-x$. Donc $f$ est strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$. Son maximum est $f(1)=e^{-1}$.

4. Avec $X=\frac1x$ : $\dfrac{e^{-1/x}}{x^n}=X^ne^{-X}$. Quand $x\to0^+$, $X\to+\infty$, et par croissances comparées $X^ne^{-X}\to0$. Par composition, $\lim_{x\to0^+}\dfrac{e^{-1/x}}{x^n}=0$ pour tout $n\geq1$.

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