Coefficients binomiaux et chemins : énoncé (Terminale spé)

Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves, le nombre de chemins qui comportent exactement $k$ succès est $\binom{n}{k}$ : choisir un tel chemin revient à choisir les $k$ rangs des succès parmi les $n$ rangs possibles.

Rappels utiles, pour $0\leqslant k\leqslant n$ : $$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1,\qquad \binom{n}{1}=n,\qquad \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$ et, pour $0\leqslant k\leqslant n-1$, la relation de Pascal $$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}.$$