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Terminale › Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale › Probabilité de $k$ succès

Probabilité de $k$ succès : énoncé (Terminale spé)

Théorème

Probabilité de $k$ succès

Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, alors pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$ : $$P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}.$$

Démonstration : Probabilité de $k$ succès
Démonstration

Expression de la probabilité de $k$ succès (démonstration exigible)

Soit $k$ un entier entre $0$ et $n$.

  1. L'événement $\{X=k\}$ est la réunion des issues (chemins de l'arbre) comportant exactement $k$ succès et donc $n-k$ échecs. Ces issues sont deux à deux distinctes, donc $P(X=k)$ est la somme de leurs probabilités.
  2. Les épreuves étant indépendantes, la probabilité d'une telle issue est le produit des probabilités de ses $n$ composantes : $k$ facteurs égaux à $p$ et $n-k$ facteurs égaux à $1-p$. Chacune de ces issues a donc la même probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$.
  3. Une telle issue est entièrement déterminée par l'ensemble des rangs où se trouvent les succès, qui est une partie à $k$ éléments de $\{1,2,\dots,n\}$. Il y a donc $\binom{n}{k}$ issues de ce type.

En conclusion : $$P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}.$$

Exemple

Trois lancers francs

Une joueuse réussit chaque lancer franc avec probabilité $0{,}8$, indépendamment des autres. Elle en tire 3. Le nombre $X$ de paniers suit $\mathcal{B}(3\,;0{,}8)$.

  • $P(X=3)=0{,}8^3=0{,}512$.
  • $P(X=2)=\binom32\times0{,}8^2\times0{,}2=3\times0{,}64\times0{,}2=0{,}384$. Les trois chemins sont $(S,S,\overline S)$, $(S,\overline S,S)$, $(\overline S,S,S)$.
  • $P(X=1)=3\times0{,}8\times0{,}2^2=0{,}096$.
  • $P(X=0)=0{,}2^3=0{,}008$.

Vérification : $0{,}512+0{,}384+0{,}096+0{,}008=1$.

Exemple

Loi complète de $\mathcal{B}(4\,;0{,}3)$

Avec $n=4$ et $p=0{,}3$, donc $1-p=0{,}7$ :

$k$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
$\binom4k$ $1$ $4$ $6$ $4$ $1$
$P(X=k)$ $0{,}2401$ $0{,}4116$ $0{,}2646$ $0{,}0756$ $0{,}0081$

Par exemple $P(X=2)=6\times0{,}3^2\times0{,}7^2=6\times0{,}09\times0{,}49=0{,}2646$. La somme des probabilités vaut bien $1$.

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