Sur son trajet, un cycliste rencontre 5 feux. On admet que chaque feu est vert à son arrivée avec la probabilité $0{,}4$, indépendamment des autres feux. On note $X$ le nombre de feux verts rencontrés.
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Calculer la valeur exacte de $P(X=2)$.
- Calculer les valeurs exactes de $P(X=0)$ et de $P(X=5)$.
- Calculer la probabilité que le cycliste rencontre au moins un feu vert.
Écrire la formule $P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ avec $n=5$ et $p=0{,}4$.
$\binom52=10$.
« Au moins un » : passer par l'événement contraire.
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L'épreuve « arriver à un feu » est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le feu est vert », de probabilité $p=0{,}4$. Elle est répétée 5 fois de façon identique et indépendante (admis par l'énoncé). $X$ compte le nombre de succès, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(5\,;0{,}4)$.
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Avec $1-p=0{,}6$ : $$P(X=2)=\binom52\times0{,}4^2\times0{,}6^3=10\times0{,}16\times0{,}216=0{,}3456.$$
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$P(X=0)=\binom50\times0{,}4^0\times0{,}6^5=0{,}6^5=0{,}07776$ et $P(X=5)=0{,}4^5=0{,}01024$.
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L'événement « au moins un feu vert » est $\{X\geqslant1\}$, contraire de $\{X=0\}$ : $$P(X\geqslant1)=1-P(X=0)=1-0{,}07776=0{,}92224.$$
P(X=2) = 0,3456 ; P(X=0) = 0,07776 ; P(X=5) = 0,01024 ; P(X≥1) = 0,92224