Soit $n\geqslant1$, $p\in\,]0\,;1[$ et $X$ une variable de loi $\mathcal B(n,p)$. On cherche la ou les valeurs de $k$ pour lesquelles $P(X=k)$ est maximale.
- Montrer que, pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n-1$ : $\dfrac{\binom n{k+1}}{\binom nk}=\dfrac{n-k}{k+1}$.
- En déduire que $\dfrac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\dfrac{n-k}{k+1}\times\dfrac p{1-p}$.
- Montrer que $P(X=k+1)>P(X=k)\iff k<(n+1)p-1$, et que $P(X=k+1)=P(X=k)\iff k=(n+1)p-1$.
- Application : déterminer la valeur la plus probable de $X$ lorsque $X\sim\mathcal B(30\,;0{,}2)$, et donner la probabilité correspondante arrondie à $10^{-4}$.
- Application : montrer que $\mathcal B(9\,;0{,}5)$ a deux valeurs les plus probables, et donner la probabilité correspondante.
Écrire les coefficients avec les factorielles et simplifier.
Pour $0<p<1$, tous les $P(X=k)$ sont strictement positifs : on peut comparer un quotient à 1.
Multiplier par $(k+1)(1-p)>0$ ne change pas le sens de l'inégalité, puis développer.
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Avec $\binom nk=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ : $$\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}=\frac{n!}{(k+1)!\,(n-k-1)!}\times\frac{k!\,(n-k)!}{n!}=\frac{k!}{(k+1)!}\times\frac{(n-k)!}{(n-k-1)!}=\frac{n-k}{k+1}.$$
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Comme $0<p<1$, $P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}>0$ et $$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{\binom n{k+1}}{\binom nk}\times\frac{p^{k+1}}{p^k}\times\frac{(1-p)^{n-k-1}}{(1-p)^{n-k}}=\frac{n-k}{k+1}\times\frac p{1-p}.$$
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$P(X=k)>0$, donc $P(X=k+1)>P(X=k)$ équivaut à un quotient strictement supérieur à 1. En multipliant par $(k+1)(1-p)>0$ : $$\begin{aligned}P(X=k+1)>P(X=k)&\iff(n-k)p>(k+1)(1-p)\\&\iff np-kp>k+1-kp-p\\&\iff np+p-1>k\\&\iff k<(n+1)p-1.\end{aligned}$$ Le même calcul avec des égalités donne $P(X=k+1)=P(X=k)\iff k=(n+1)p-1$.
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Ici $(n+1)p-1=31\times0{,}2-1=5{,}2$, qui n'est pas entier. Pour $k\leqslant5$, on a $k<5{,}2$ donc $P(X=k+1)>P(X=k)$ ; pour $k\geqslant6$, on a $k>5{,}2$ donc $P(X=k+1)<P(X=k)$. Ainsi $$P(X=0)<P(X=1)<\dots<P(X=6)\quad\text{et}\quad P(X=6)>P(X=7)>\dots>P(X=30).$$ La valeur la plus probable est $6$, et $P(X=6)=\binom{30}6\times0{,}2^6\times0{,}8^{24}\approx0{,}1795$. Elle coïncide ici avec $E(X)=6$.
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Ici $(n+1)p-1=10\times0{,}5-1=4$, entier. Pour $k<4$, $P(X=k+1)>P(X=k)$ ; pour $k=4$, $P(X=5)=P(X=4)$ ; pour $k>4$, $P(X=k+1)<P(X=k)$. Les probabilités croissent jusqu'à $k=4$, $P(X=4)=P(X=5)$, puis elles décroissent : il y a deux valeurs les plus probables, $4$ et $5$, avec $$P(X=4)=P(X=5)=\binom94\times0{,}5^9=\frac{126}{512}=\frac{63}{256}\approx0{,}2461.$$
B(30 ; 0,2) : valeur 6, P(X=6) ≈ 0,1795 ; B(9 ; 0,5) : valeurs 4 et 5, probabilité 63/256