Calculer le volume d'un tétraèdre : méthode (Terminale spé)
Calculer le volume d'un tétraèdre
Le volume d'un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) est $V=\dfrac13\times\mathcal B\times h$, où $\mathcal B$ est l'aire d'une face et $h$ la distance du sommet opposé au plan de cette face.
- Choisir une face $ABC$ dont l'aire est calculable (triangle rectangle, ou angle connu par produit scalaire : $\mathcal B=\frac12\,AB\times AC\times\sin\widehat{BAC}$).
- Déterminer une équation du plan $(ABC)$.
- Calculer la distance $h$ du quatrième sommet $D$ à $(ABC)$ par le projeté orthogonal.
- Appliquer la formule.
Volume du tétraèdre $OABC$
On reprend $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$, $C(2;2;3)$ et le plan $(ABC):\ 5x-4y+3z-11=0$. On note $O$ l'origine du repère.
Aire de $ABC$. On a vu $AB=3$, $AC=\sqrt6$ et $\cos\widehat{BAC}=\frac{2}{3\sqrt6}$, donc $\cos^2\widehat{BAC}=\frac4{54}=\frac2{27}$. L'angle est compris entre $0$ et $\pi$, son sinus est positif : $$\sin\widehat{BAC}=\sqrt{1-\frac2{27}}=\sqrt{\frac{25}{27}}=\frac5{3\sqrt3}$$ $$\mathcal B=\frac12\times3\times\sqrt6\times\frac5{3\sqrt3}=\frac{5\sqrt2}2$$
Hauteur issue de $O$. La droite passant par $O$ dirigée par $\vec n\begin{pmatrix}5\\-4\\3\end{pmatrix}$ est $\begin{cases}x=5t\\y=-4t\\z=3t\end{cases}$. En remplaçant : $25t+16t+9t-11=0$, soit $t=\frac{11}{50}$. Avec $\|\vec n\|=\sqrt{50}=5\sqrt2$ : $$h=\frac{11}{50}\times5\sqrt2=\frac{11\sqrt2}{10}$$
Volume : $$V=\frac13\times\frac{5\sqrt2}2\times\frac{11\sqrt2}{10}=\frac13\times\frac{110}{20}=\frac{11}6$$
S’entraîner
- Produit scalaire et orthogonalité en coordonnées
- Angle et nature d'un triangle
- Produits scalaires dans un cube, sans coordonnées
- Une diagonale orthogonale à un plan du cube
- Projeté orthogonal sur un plan et distance
Dans le cours
Orthogonalité et distances dans l'espace : Calculer le volume d'un tétraèdre