Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;0;1)$, $B(2;1;1)$ et $C(1;1;2)$.
- Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
- Calculer $AB$ et $AC$, puis la mesure en degrés de l'angle $\widehat{BAC}$.
- Calculer $BC$ et en déduire la nature du triangle $ABC$.
Appliquer la méthode du cours : coordonnées des vecteurs, produit scalaire, normes, puis cosinus.
Le cosinus obtenu est une valeur remarquable : la calculatrice n'est pas nécessaire.
Comparer les trois longueurs du triangle.
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$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$. Le repère est orthonormé, donc : $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times0+1\times1+0\times1=1$$
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$AB=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2$ et $AC=\sqrt{0+1+1}=\sqrt2$. Ces longueurs sont non nulles, donc : $$\cos\widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\frac{1}{\sqrt2\times\sqrt2}=\frac12$$ Un angle géométrique est compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$ ; dans cet intervalle, le seul angle de cosinus $\frac12$ est $60^\circ$. Donc $\widehat{BAC}=60^\circ$.
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$\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$, donc $BC=\sqrt{1+0+1}=\sqrt2$.
Ainsi $AB=AC=BC=\sqrt2$ : le triangle $ABC$ est équilatéral de côté $\sqrt2$, ce qui est cohérent avec l'angle de $60^\circ$ trouvé.
$\widehat{BAC}=60^\circ$ ; $ABC$ équilatéral de côté $\sqrt2$