Calculer la distance d'un point à un plan : méthode (Terminale spé)
Calculer la distance d'un point à un plan
- Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal P$ (méthode de la section précédente).
- Calculer $MH=\sqrt{(x_H-x_M)^2+(y_H-y_M)^2+(z_H-z_M)^2}$.
Raccourci : si $H$ correspond au paramètre $t$ sur la droite $\Delta$ dirigée par $\vec n$, alors $\overrightarrow{MH}=t\vec n$ et $MH=|t|\times\|\vec n\|$.
Distances, suite des exemples précédents
Distance de $M(3;2;-1)$ au plan $\mathcal P:\ x+2y-2z+6=0$. On a trouvé $t=-\frac53$ et $\|\vec n\|=\sqrt{1+4+4}=3$, donc : $$MH=\frac53\times3=5$$ Vérification directe : $\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix}-5/3\\-10/3\\10/3\end{pmatrix}$, et $MH=\sqrt{\frac{25+100+100}9}=\sqrt{25}=5$.
Distance de $M(3;4;-1)$ à la droite $d$ passant par $A(1;0;2)$ et dirigée par $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. On a trouvé $\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix}-1\\-3\\4\end{pmatrix}$, donc $MH=\sqrt{1+9+16}=\sqrt{26}$.
Formule de la distance d'un point à un plan (hors programme)
En repère orthonormé, la distance du point $M(x_M;y_M;z_M)$ au plan $\mathcal P:\ ax+by+cz+d=0$ vaut : $$\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Cette formule est hors programme : au baccalauréat, elle ne peut être utilisée que si l'énoncé la donne ; sinon il faut passer par le projeté orthogonal. Elle se justifie en quelques lignes : $H$ s'écrit $(x_M+at;\ y_M+bt;\ z_M+ct)$ ; en remplaçant dans l'équation du plan, $ax_M+by_M+cz_M+d+t\,(a^2+b^2+c^2)=0$, d'où $t$, puis $MH=|t|\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
Avec $M(3;2;-1)$ et $\mathcal P$ ci-dessus : $\dfrac{|3+4+2+6|}{3}=5$, ce qui confirme le calcul.
S’entraîner
- Produit scalaire et orthogonalité en coordonnées
- Angle et nature d'un triangle
- Plan défini par un point et un vecteur normal
- Produits scalaires dans un cube, sans coordonnées
- Position d'une droite et d'un plan
Dans le cours
Orthogonalité et distances dans l'espace : Calculer la distance d'un point à un plan