Dans un repère orthonormé, on considère le plan $\mathcal P:\ 2x-y+2z+3=0$ et les points $M(3;0;0)$ et $N(1;5;0)$.
- Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $M$ et orthogonale à $\mathcal P$.
- Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal P$.
- Calculer la distance de $M$ au plan $\mathcal P$.
- Vérifier que $N$ appartient à $\mathcal P$. Calculer $MN^2$, $MH^2$ et $HN^2$, et commenter.
La droite $\Delta$ est dirigée par un vecteur normal au plan, lu sur l'équation.
Remplacer la représentation paramétrique dans l'équation du plan et résoudre en $t$.
Utiliser $MH=|t|\times\|\vec n\|$ ou calculer directement la longueur.
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Un vecteur normal à $\mathcal P$ est $\vec n\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ ; il dirige $\Delta$. Donc : $$\Delta:\ \begin{cases}x=3+2t\\y=-t\\z=2t\end{cases},\ t\in\mathbb R$$
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$H$ est l'intersection de $\Delta$ et de $\mathcal P$. En remplaçant : $$2(3+2t)-(-t)+2\times2t+3=0\iff6+4t+t+4t+3=0\iff9+9t=0\iff t=-1$$ Donc $H(3-2;\ 1;\ -2)$, soit $H(1;1;-2)$. Contrôle : $2-1-4+3=0$.
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$\overrightarrow{MH}=-\vec n$, donc $MH=|-1|\times\|\vec n\|=\sqrt{4+1+4}=3$. Vérification directe : $\overrightarrow{MH}\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}$ et $MH=\sqrt{4+1+4}=3$.
La distance de $M$ au plan $\mathcal P$ est 3.
- $N$ : $2-5+0+3=0$, donc $N\in\mathcal P$.
$\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix}-2\\5\\0\end{pmatrix}$ donne $MN^2=4+25=29$ ; $MH^2=9$ ; $\overrightarrow{HN}\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}$ donne $HN^2=16+4=20$.
On constate $MN^2=MH^2+HN^2$ : le triangle $MHN$ est rectangle en $H$, comme dans la démonstration du cours. En particulier $MN=\sqrt{29}>3=MH$ : $N$ est plus éloigné de $M$ que $H$, qui est le point de $\mathcal P$ le plus proche de $M$.
$H(1;1;-2)$ ; distance $3$