Dans une base orthonormée de l'espace, on considère les vecteurs $\vec u\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$, $\vec v\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}$ et, pour un réel $m$, $\vec w\begin{pmatrix}m\\2\\1\end{pmatrix}$.
- Calculer $\vec u\cdot\vec v$. Que peut-on en déduire ?
- Calculer $\|\vec u\|$ et $\|\vec v\|$.
- Déterminer le réel $m$ tel que $\vec u$ et $\vec w$ soient orthogonaux.
- Calculer $\|\vec u+\vec v\|^2$ de deux façons : avec une identité du cours, puis avec les coordonnées de $\vec u+\vec v$.
Utiliser l'expression $xx'+yy'+zz'$, valable en base orthonormée.
Pour la question 3, écrire $\vec u\cdot\vec w$ en fonction de $m$ : on obtient une équation du premier degré.
Pour la question 4, le résultat de la question 1 simplifie l'identité $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$.
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La base est orthonormée, donc : $$\vec u\cdot\vec v=2\times1+(-1)\times5+3\times1=2-5+3=0$$ Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.
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$\|\vec u\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}$ et $\|\vec v\|=\sqrt{1+25+1}=\sqrt{27}=3\sqrt3$.
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$\vec u\cdot\vec w=2m+(-1)\times2+3\times1=2m+1$. Donc : $$\vec u\perp\vec w\iff2m+1=0\iff m=-\frac12$$
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Avec l'identité : $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2=14+2\times0+27=41$.
Avec les coordonnées : $\vec u+\vec v\begin{pmatrix}3\\4\\4\end{pmatrix}$, donc $\|\vec u+\vec v\|^2=9+16+16=41$.
Les deux calculs concordent. Pour deux vecteurs orthogonaux, l'identité se réduit au théorème de Pythagore : $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2$.
$\vec u\cdot\vec v=0$ ; $\|\vec u\|=\sqrt{14}$ ; $\|\vec v\|=3\sqrt3$ ; $m=-\frac12$ ; $\|\vec u+\vec v\|^2=41$