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Démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan : méthode (Terminale spé)
Méthode
Démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan
Pour démontrer que $(MN)\perp(ABC)$ :
- Vérifier que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (les points $A$, $B$, $C$ définissent bien un plan).
- Calculer $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AC}$.
- Si les deux sont nuls, conclure par la caractérisation : $(MN)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(ABC)$.
Sans repère, on utilise les propriétés géométriques de la figure (faces carrées, droites orthogonales à une face, etc.).
Exemple
La grande diagonale d'un cube
Dans le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1, muni du repère orthonormé $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ : $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $G(1;1;1)$.
On montre que $(AG)\perp(BDE)$.
- $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$.
- $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BE}$ ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de l'un est nulle, pas celle de l'autre, alors que leurs premières coordonnées sont égales).
- $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=-1+1+0=0$ et $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}=-1+0+1=0$.
La droite $(AG)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(BDE)$ : elle est orthogonale à ce plan.
S’entraîner
- Plan défini par un point et un vecteur normal
- Position d'une droite et d'un plan
- Équation du plan passant par trois points
- Une diagonale orthogonale à un plan du cube
- Projeté orthogonal sur un plan et distance
Dans le cours
Orthogonalité et distances dans l'espace : Démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan