Dans un repère orthonormé, on note $\mathcal P$ le plan passant par $A(1;-2;3)$ et de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}$.
- Déterminer une équation cartésienne de $\mathcal P$.
- Les points $B(3;2;3)$, $C(0;0;4)$ et $D(1;1;1)$ appartiennent-ils à $\mathcal P$ ?
- Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal P$ avec l'axe $(Ox)$.
Un point $M$ appartient à $\mathcal P$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0$.
Pour la question 2, remplacer les coordonnées dans le membre de gauche de l'équation.
Un point de l'axe $(Ox)$ a ses deux dernières coordonnées nulles.
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Soit $M(x;y;z)$. On a $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-1\\y+2\\z-3\end{pmatrix}$ et : $$M\in\mathcal P\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\iff2(x-1)-(y+2)+4(z-3)=0\iff2x-y+4z-16=0$$ Une équation cartésienne de $\mathcal P$ est $2x-y+4z-16=0$. Contrôle avec $A$ : $2+2+12-16=0$.
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On remplace les coordonnées :
- $B$ : $2\times3-2+4\times3-16=6-2+12-16=0$, donc $B\in\mathcal P$ ;
- $C$ : $0-0+4\times4-16=0$, donc $C\in\mathcal P$ ;
- $D$ : $2-1+4-16=-11\neq0$, donc $D\notin\mathcal P$.
- Un point de $(Ox)$ s'écrit $(x;0;0)$. Il appartient à $\mathcal P$ si et seulement si $2x-16=0$, soit $x=8$. Le plan $\mathcal P$ coupe l'axe $(Ox)$ au point $(8;0;0)$.
$2x-y+4z-16=0$ ; $B\in\mathcal P$, $C\in\mathcal P$, $D\notin\mathcal P$ ; point $(8;0;0)$