Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1;2;0)$, $B(2;0;1)$, $C(0;1;3)$ et $D(1;1;2)$.
- Montrer que les points $A$, $B$, $C$ définissent un plan.
- Déterminer un vecteur normal au plan $(ABC)$ à coordonnées entières.
- En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
- Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont-ils coplanaires ?
Pour la question 1, montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Écrire le système $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$, $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$ et additionner les deux équations pour éliminer une inconnue.
Choisir la valeur de l'inconnue restante qui évite les fractions.
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$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\-1\\3\end{pmatrix}$. Si l'on avait $\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}$, les premières coordonnées donneraient $k=-1$, puis les deuxièmes $-1=2$, ce qui est faux. Les vecteurs ne sont pas colinéaires : $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés et définissent un plan.
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On cherche $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ non nul tel que : $$\begin{cases}a-2b+c=0\\-a-b+3c=0\end{cases}$$ En additionnant : $-3b+4c=0$, donc $b=\frac43c$. La première équation donne $a=2b-c$.
Avec $c=3$ : $b=4$ et $a=8-3=5$. Ainsi $\vec n\begin{pmatrix}5\\4\\3\end{pmatrix}$.
Contrôle : $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=5-8+3=0$ et $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=-5-4+9=0$. Le vecteur $\vec n$ est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : il est normal à $(ABC)$.
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Une équation est de la forme $5x+4y+3z+d=0$. Avec $A$ : $5+8+0+d=0$, donc $d=-13$. $$(ABC):\ 5x+4y+3z-13=0$$ Contrôle : $B$ donne $10+0+3-13=0$ et $C$ donne $0+4+9-13=0$.
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Avec $D$ : $5+4+6-13=2\neq0$. Donc $D\notin(ABC)$ : les quatre points ne sont pas coplanaires.
$\vec n(5;4;3)$ ; $(ABC):\ 5x+4y+3z-13=0$ ; $A$, $B$, $C$, $D$ non coplanaires