Caractérisation de l'orthogonalité d'une droite et d'un plan : énoncé (Terminale spé)
Caractérisation de l'orthogonalité d'une droite et d'un plan
Soient $d$ une droite de vecteur directeur $\vec u$, et $\mathcal P$ un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec v_1$ et $\vec v_2$.
$$d\perp\mathcal P\iff\vec u\cdot\vec v_1=0\ \text{ et }\ \vec u\cdot\vec v_2=0$$
Autrement dit : une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Démonstration : Caractérisation de l'orthogonalité d'une droite et d'un plan
Caractérisation
Sens direct. Si $d\perp\mathcal P$, $d$ est orthogonale à toutes les droites de $\mathcal P$, en particulier à celles dirigées par $\vec v_1$ et $\vec v_2$. Donc $\vec u\cdot\vec v_1=\vec u\cdot\vec v_2=0$.
Réciproque. On suppose $\vec u\cdot\vec v_1=\vec u\cdot\vec v_2=0$. Soit $\Delta$ une droite de $\mathcal P$, de vecteur directeur $\vec w$. Comme $(\vec v_1,\vec v_2)$ est un couple de vecteurs non colinéaires dirigeant $\mathcal P$, il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vec w=\alpha\vec v_1+\beta\vec v_2$. Par bilinéarité : $$\vec u\cdot\vec w=\alpha\,\vec u\cdot\vec v_1+\beta\,\vec u\cdot\vec v_2=\alpha\times0+\beta\times0=0$$ Donc $d$ est orthogonale à $\Delta$. Ceci vaut pour toute droite $\Delta$ de $\mathcal P$ : $d\perp\mathcal P$.
S’entraîner
- Produit scalaire et orthogonalité en coordonnées
- Plan défini par un point et un vecteur normal
- Position d'une droite et d'un plan
- Équation du plan passant par trois points
- Une diagonale orthogonale à un plan du cube