Ensemble des primitives : énoncé (Terminale spé)
Ensemble des primitives
Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
- Les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $x\mapsto F(x)+C$, où $C$ est une constante réelle.
- Pour tout $x_0\in I$ et tout réel $y_0$, il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0)=y_0$.
Démonstration : Ensemble des primitives
Deux primitives diffèrent d'une constante
Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
Les fonctions $F+C$ sont des primitives. Pour une constante $C$, la fonction $x\mapsto F(x)+C$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée vaut $F'(x)+0=f(x)$.
Il n'y en a pas d'autres. Soit $G$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$. La fonction $D=G-F$ est dérivable sur $I$ et $$D'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0\quad\text{pour tout } x\in I.$$ Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle : il existe un réel $C$ tel que $D(x)=C$, c'est-à-dire $G(x)=F(x)+C$ pour tout $x\in I$.
Condition initiale. Les primitives sont les $F+C$. La condition $F(x_0)+C=y_0$ équivaut à $C=y_0-F(x_0)$ : une seule valeur de $C$ convient, d'où l'existence et l'unicité de $G$.
Le mot intervalle compte
Sur une réunion d'intervalles, le résultat tombe. Par exemple, $x\mapsto -\frac1x$ est une primitive de $x\mapsto\frac1{x^2}$ sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$, et on peut ajouter une constante différente sur chacun des deux morceaux. On précise donc toujours l'intervalle de travail.
Primitive vérifiant une condition
On cherche la primitive $F$ de $f(x)=e^{2x}+x$ sur $\mathbb R$ telle que $F(0)=1$.
Les primitives de $f$ sont les fonctions $x\mapsto \frac12e^{2x}+\frac12x^2+C$ (on vérifie en dérivant : $e^{2x}+x$).
$F(0)=\frac12+0+C=1$ donne $C=\frac12$.
Conclusion : $F(x)=\frac12e^{2x}+\frac12x^2+\frac12$.
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Dans le cours
Primitives et équations différentielles : Ensemble des primitives