Équation différentielle : définition (Terminale spé)
Équation différentielle
Une équation différentielle est une égalité qui relie une fonction inconnue $y$, dérivable, à sa dérivée $y'$ (et éventuellement à la variable).
Une fonction $g$ est solution de l'équation sur un intervalle $I$ si $g$ est dérivable sur $I$ et si l'égalité est vraie pour $y=g$ en tout $x$ de $I$.
Résoudre l'équation sur $I$, c'est trouver toutes ses solutions sur $I$.
Vérifier qu'une fonction est solution
On considère l'équation $(E) : y'=2y-4$ sur $\mathbb R$ et la fonction $g(x)=3e^{2x}+2$.
On a $g'(x)=6e^{2x}$ et $2g(x)-4=6e^{2x}+4-4=6e^{2x}$.
Donc $g'(x)=2g(x)-4$ pour tout réel $x$ : $g$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb R$.
En revanche, $h(x)=e^{2x}+1$ n'est pas solution : $h'(x)=2e^{2x}$ alors que $2h(x)-4=2e^{2x}-2$.
S’entraîner
- Vérifier qu'une fonction est solution
- Résoudre des équations y' = ay
- Résoudre des équations y' = ay + b
- Solution particulière affine
- Solution particulière exponentielle
Dans le cours
Primitives et équations différentielles : Équation différentielle