Encadrer une suite et étudier ses variations avec une fonction croissante : méthode (Terminale spé)
Encadrer une suite et étudier ses variations avec une fonction croissante
Pour une suite $u_{n+1}=f(u_n)$, on cherche souvent à démontrer $P(n)$ : « $a\leq u_n\leq u_{n+1}\leq b$ ».
- Étudier $f$ et vérifier qu'elle est croissante sur un intervalle contenant $[a\,;b]$.
- Initialisation : calculer $u_{n_0}$ et $u_{n_0+1}$, vérifier l'encadrement.
- Hérédité : partir de $a\leq u_n\leq u_{n+1}\leq b$ et appliquer $f$, qui conserve l'ordre : $f(a)\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq f(b)$.
- Calculer $f(a)$ et $f(b)$ et vérifier que $f(a)\geq a$ et $f(b)\leq b$ pour retrouver $a\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq b$.
- Conclure : la suite est croissante, minorée par $a$, majorée par $b$.
Si on obtient $u_{n+1}\leq u_n$ à l'initialisation, on démontre de même $a\leq u_{n+1}\leq u_n\leq b$ : la suite est alors décroissante.
Une suite avec une racine carrée
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. On pose $f(x)=\sqrt{x+2}$ sur $[-2\,;+\infty[$.
La fonction $f$ est croissante sur $[-2\,;+\infty[$ : c'est la composée de $x\mapsto x+2$, croissante, suivie de la racine carrée, croissante.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$ ».
Initialisation. $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{3}$. Comme $1\leq 3\leq 4$, on a $1\leq\sqrt{3}\leq 2$, donc $0\leq u_0\leq u_1\leq 2$ : $P(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$. Ces nombres sont dans $[-2\,;+\infty[$ où $f$ est croissante, donc $$f(0)\leq f(u_n)\leq f(u_{n+1})\leq f(2),\quad\text{soit}\quad \sqrt{2}\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 2.$$ Comme $\sqrt{2}\geq 0$, on obtient $0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 2$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 2$. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$.
Une suite arithmético-géométrique
Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=0{,}5u_n+3$. Montrons que $u_n\leq 6$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
On note $P(n)$ : « $u_n\leq 6$ ».
Initialisation. $u_0=0\leq 6$.
Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé, on suppose $u_n\leq 6$. En multipliant par $0{,}5>0$ : $0{,}5u_n\leq 3$. En ajoutant $3$ : $u_{n+1}\leq 6$.
Conclusion. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leq 6$.
On en déduit le sens de variation sans nouvelle récurrence : $$u_{n+1}-u_n=3-0{,}5u_n=0{,}5(6-u_n)\geq 0.$$ La suite est croissante.
Variations de $f$ et variations de la suite
Le sens de variation de $f$ ne donne pas directement celui de $(u_n)$. Avec $f(x)=\dfrac{x}{2}$, croissante :
- si $u_0=1$, alors $u_1=0{,}5<u_0$ et la suite est décroissante ;
- si $u_0=-1$, alors $u_1=-0{,}5>u_0$ et la suite est croissante.
C'est la comparaison de $u_0$ et $u_1$, propagée par récurrence, qui donne le sens de variation.
Si $f$ est décroissante, appliquer $f$ renverse les inégalités et la méthode précédente ne s'applique pas telle quelle.
Vers la convergence
Dans l'exemple de la racine carrée, la suite est croissante et majorée. Le théorème de convergence monotone, vu dans le chapitre sur les limites de suites, permet d'en déduire qu'elle converge. La récurrence fournit donc souvent la première étape d'une étude de convergence.
S’entraîner
- Expression explicite d'une suite définie par récurrence
- Une suite définie par un quotient
- Encadrement et monotonie d'une suite avec une racine carrée
- Une suite homographique décroissante
- Majorer une somme qui converge