On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=3u_n-2$.
- Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=3^n+1$.
Pour la question 1, appliquer la relation de récurrence trois fois de suite.
Pour l'hérédité, écrire le but : $u_{n+1}=3^{n+1}+1$.
Partir de $u_{n+1}=3u_n-2$ et remplacer $u_n$ grâce à l'hypothèse de récurrence, puis utiliser $3\times 3^n=3^{n+1}$.
1. $u_1=3\times 2-2=4$, $u_2=3\times 4-2=10$, $u_3=3\times 10-2=28$.
2. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $u_n=3^n+1$ ».
Initialisation. $u_0=2$ et $3^0+1=1+1=2$. Donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $u_n=3^n+1$. Montrons que $u_{n+1}=3^{n+1}+1$. $$u_{n+1}=3u_n-2=3\left(3^n+1\right)-2=3^{n+1}+3-2=3^{n+1}+1.$$ La deuxième égalité utilise l'hypothèse de récurrence. Donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc d'après le principe de récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=3^n+1$.
On retrouve les valeurs de la question 1 : $3^1+1=4$, $3^2+1=10$, $3^3+1=28$.
$u_1=4$, $u_2=10$, $u_3=28$ ; $u_n=3^n+1$