Soit $f$ la fonction définie sur $\left[-\dfrac43\,;+\infty\right[$ par $f(x)=\sqrt{3x+4}$. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
- Justifier que $f$ est croissante sur $\left[-\dfrac43\,;+\infty\right[$.
- Calculer $f(0)$ et $f(4)$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4$.
- En déduire le sens de variation de $(u_n)$ et un majorant.
$f$ est la composée de $x\mapsto 3x+4$ et de la racine carrée.
Pour l'initialisation, calculer $u_1$.
Dans l'hérédité, appliquer $f$ à l'encadrement $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4$ : la croissance de $f$ conserve l'ordre.
1. Sur $\left[-\dfrac43\,;+\infty\right[$, la fonction $x\mapsto 3x+4$ est croissante (coefficient $3>0$) et à valeurs positives. La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$. Par composition, $f$ est croissante sur $\left[-\dfrac43\,;+\infty\right[$.
2. $f(0)=\sqrt4=2$ et $f(4)=\sqrt{16}=4$.
3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $P(n)$ : « $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4$ ».
Initialisation. $u_0=0$ et $u_1=f(0)=2$. On a $0\leq 0\leq 2\leq 4$, donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ fixé. On suppose $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4$. Montrons que $0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 4$.
Les nombres $0$, $u_n$, $u_{n+1}$, $4$ appartiennent à $\left[-\dfrac43\,;+\infty\right[$, où $f$ est croissante. Donc $$f(0)\leq f(u_n)\leq f(u_{n+1})\leq f(4),\quad\text{soit}\quad 2\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 4.$$ Comme $2\geq 0$, on obtient $0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 4$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. $P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4$.
4. Pour tout $n$, $u_n\leq u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante. Elle est majorée par $4$ (et minorée par $0$).
$(u_n)$ croissante, $0\leq u_n\leq 4$