Pour tout entier $n\geq 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$.
- On tente de démontrer par récurrence que $S_n\leq 2$ pour tout $n\geq 1$. Expliquer pourquoi l'hérédité n'aboutit pas directement.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 1$, $$S_n\leq 2-\frac1n.$$
- En déduire que la suite $(S_n)$ est croissante, majorée par $2$, puis qu'elle converge.
Si l'on suppose seulement $S_n\leq 2$, que peut-on dire de $S_n+\dfrac{1}{(n+1)^2}$ ?
Dans l'hérédité de la question 2, il reste à comparer $2-\dfrac1n+\dfrac{1}{(n+1)^2}$ et $2-\dfrac{1}{n+1}$ : étudier le signe de la différence.
Réduire au même dénominateur $n(n+1)^2$.
1. Si l'on suppose $S_n\leq 2$, on obtient seulement $S_{n+1}=S_n+\dfrac{1}{(n+1)^2}\leq 2+\dfrac{1}{(n+1)^2}$, ce qui ne permet pas de conclure $S_{n+1}\leq 2$. L'hypothèse $S_n\leq 2$ ne laisse aucune marge pour absorber le terme ajouté. On démontre une propriété plus forte, qui prévoit cette marge.
2. Pour tout entier $n\geq 1$, on note $P(n)$ : « $S_n\leq 2-\dfrac1n$ ».
Initialisation. $S_1=1$ et $2-\dfrac11=1$. Comme $1\leq 1$, $P(1)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n\geq 1$ fixé. On suppose $S_n\leq 2-\dfrac1n$. Montrons que $S_{n+1}\leq 2-\dfrac{1}{n+1}$.
Par l'hypothèse de récurrence : $S_{n+1}=S_n+\dfrac{1}{(n+1)^2}\leq 2-\dfrac1n+\dfrac{1}{(n+1)^2}$.
Comparons ce majorant au but : $$\left(2-\frac{1}{n+1}\right)-\left(2-\frac1n+\frac{1}{(n+1)^2}\right)=\frac1n-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2-n(n+1)-n}{n(n+1)^2}=\frac{1}{n(n+1)^2}.$$ En effet $(n+1)^2-n(n+1)-n=n^2+2n+1-n^2-n-n=1$. Ce nombre est strictement positif, donc $2-\dfrac1n+\dfrac{1}{(n+1)^2}<2-\dfrac{1}{n+1}$.
Par transitivité, $S_{n+1}\leq 2-\dfrac{1}{n+1}$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, pour tout entier $n\geq 1$, $S_n\leq 2-\dfrac1n$.
3. Pour tout $n\geq 1$, $S_{n+1}-S_n=\dfrac{1}{(n+1)^2}>0$ : la suite $(S_n)$ est croissante. De plus $S_n\leq 2-\dfrac1n<2$ : elle est majorée par $2$. D'après le théorème de convergence monotone, $(S_n)$ converge.
Remarque (hors programme) : sa limite vaut $\dfrac{\pi^2}{6}\approx 1{,}645$.
$S_n\leq 2-\dfrac1n$ pour tout $n\geq 1$ ; $(S_n)$ croissante, majorée par $2$, convergente