Calculer les premiers termes et conjecturerDémontrer l'expression explicite d'une suiteCalculer avec des fractions
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}.$$
- Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
- Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n$ est bien défini et $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.
- En déduire $u_{99}$.
Indice 1
Pour $u_2$, on divise $\dfrac12$ par $\dfrac32$.
Indice 2
Dans l'hérédité, remplacer $u_n$ par $\dfrac{1}{n+1}$ et réduire $1+\dfrac{1}{n+1}$ au même dénominateur.
Indice 3
Vérifier au passage que le dénominateur $1+u_n$ n'est pas nul.
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