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Formes équivalentes : énoncé (Terminale spé)
Propriété
Formes équivalentes
- En passant à l'événement contraire : $$P\big(|X-\mu|<\delta\big)\geq1-\frac{V}{\delta^2},$$ c'est-à-dire $P(\mu-\delta<X<\mu+\delta)\geq1-\dfrac{V}{\delta^2}$.
- Avec $\delta=k\sigma$ où $\sigma=\sigma(X)>0$ et $k>0$ : $$P\big(|X-\mu|\geq k\sigma\big)\leq\frac{1}{k^2}.$$ Par exemple, la probabilité que $X$ s'écarte de $\mu$ d'au moins $2\sigma$ est au plus $\frac14$, d'au moins $3\sigma$ au plus $\frac19$.
Exemple
Cent lancers d'une pièce
On lance $100$ fois une pièce équilibrée ; $X$ est le nombre de Pile. $X$ suit $\mathcal{B}(100\,;0{,}5)$, donc $\mu=50$, $V=100\times0{,}5\times0{,}5=25$ et $\sigma=5$.
Avec $\delta=10$ : $$P\big(|X-50|\geq10\big)\leq\frac{25}{10^2}=0{,}25,$$ donc $P(40<X<60)\geq0{,}75$.
Un calcul avec la loi binomiale donne en réalité $P(|X-50|\geq10)\approx0{,}06$ : la majoration est vraie mais large.
S’entraîner
- Loi d'une somme de deux variables indépendantes
- Espérance et variance d'une combinaison linéaire
- Tirs à l'arc et loi binomiale
Dans le cours
Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres : Formes équivalentes