Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : énoncé (Terminale spé)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Pour tout réel $\delta>0$ : $$P\big(|X-\mu|\geq\delta\big)\leq\frac{V}{\delta^2}.$$ L'événement $\{|X-\mu|\geq\delta\}$ signifie que $X$ s'écarte de son espérance d'au moins $\delta$.
Démonstration : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Cas d'une variable prenant un nombre fini de valeurs
Notons $x_1,\dots,x_r$ les valeurs prises par $X$ et $p_i=P(X=x_i)$. Notons $I$ l'ensemble des indices $i$ tels que $|x_i-\mu|\geq\delta$ ; alors $P(|X-\mu|\geq\delta)=\sum_{i\in I}p_i$.
Par définition, $V=\sum_{i=1}^{r}(x_i-\mu)^2p_i$. Tous les termes sont positifs, donc en ne gardant que ceux d'indice dans $I$ : $$V\geq\sum_{i\in I}(x_i-\mu)^2p_i.$$ Pour $i\in I$, $|x_i-\mu|\geq\delta$, donc $(x_i-\mu)^2\geq\delta^2$. Ainsi : $$V\geq\sum_{i\in I}\delta^2p_i=\delta^2\,P(|X-\mu|\geq\delta).$$ En divisant par $\delta^2>0$, on obtient $P(|X-\mu|\geq\delta)\leq\dfrac{V}{\delta^2}$.
S’entraîner
- Premières utilisations de Bienaymé-Tchebychev
- Variance d'une différence
- Intervalle de fluctuation par Bienaymé-Tchebychev
- Taille d'échantillon pour estimer une moyenne
- Taille d'un sondage
Dans le cours
Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev