Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $E(X)=4$, $V(X)=2$, $E(Y)=-1$ et $V(Y)=3$. On pose $Z=3X-2Y+5$.
- Calculer $E(Z)$.
- Calculer $V(Z)$, puis $\sigma(Z)$ arrondi au centième.
- Un élève écrit : « $V(Z)=3\times2-2\times3=0$ ». Relever ses deux erreurs et expliquer pourquoi son résultat est absurde.
Pour l'espérance, la linéarité s'applique terme à terme, constante comprise.
Ajouter une constante ne change pas la variance.
Pour des variables indépendantes, $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)$.
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Par linéarité de l'espérance : $$E(Z)=3E(X)-2E(Y)+5=3\times4-2\times(-1)+5=12+2+5=19.$$
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Ajouter la constante $5$ ne modifie pas la variance : $V(Z)=V(3X-2Y)$. Les variables $X$ et $Y$ étant indépendantes : $$V(Z)=3^2V(X)+(-2)^2V(Y)=9\times2+4\times3=18+12=30.$$ Donc $\sigma(Z)=\sqrt{30}\approx5{,}48$.
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Première erreur : les coefficients doivent être élevés au carré, car $V(aX)=a^2V(X)$. Deuxième erreur : le coefficient $-2$ devient $(-2)^2=4>0$, donc la variance de $-2Y$ s'ajoute, elle ne se retranche pas. Le résultat $0$ est absurde : une variance nulle signifierait que $Z$ est constante, ce qui n'est pas le cas puisque $X$ et $Y$ ont des variances non nulles.
$E(Z)=19$, $V(Z)=30$, $\sigma(Z)=\sqrt{30}\approx5{,}48$