Un archer tire $40$ flèches. À chaque tir, indépendamment des autres, il atteint le centre de la cible avec la probabilité $0{,}85$. Pour $i\in\{1,\dots,40\}$, on note $X_i$ la variable qui vaut $1$ si le $i$-ième tir atteint le centre et $0$ sinon. On note $X$ le nombre de tirs qui atteignent le centre.
- Donner la loi de $X_i$, son espérance et sa variance.
- Exprimer $X$ à l'aide des $X_i$ et donner la loi de $X$.
- En utilisant les questions 1 et 2, calculer $E(X)$ et $V(X)$ en justifiant chaque étape, puis donner $\sigma(X)$ arrondi au centième.
- Chaque flèche atteint la cible. Une flèche au centre rapporte $10$ points, une flèche hors du centre rapporte $4$ points. On note $T$ le score total. a) Montrer que $T=6X+160$. b) Calculer $E(T)$, $V(T)$ et $\sigma(T)$ (arrondi au centième).
Une variable qui vaut $1$ ou $0$ suit une loi de Bernoulli.
Pour la variance de $X$, l'indépendance des tirs est indispensable : la citer.
Le nombre de flèches hors du centre est $40-X$.
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$X_i$ prend les valeurs $1$ et $0$ avec $P(X_i=1)=0{,}85$ : elle suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}85$. Donc $E(X_i)=0{,}85$ et $V(X_i)=0{,}85\times0{,}15=0{,}1275$.
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Le nombre de tirs réussis est $X=X_1+X_2+\dots+X_{40}$. Les tirs sont indépendants et ont la même probabilité de succès $0{,}85$ : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(40\,;0{,}85)$.
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Par linéarité de l'espérance : $E(X)=E(X_1)+\dots+E(X_{40})=40\times0{,}85=34$.
Les $X_i$ sont indépendantes, car associées à des tirs indépendants. La variance de leur somme est donc la somme de leurs variances : $V(X)=40\times0{,}1275=5{,}1$.
Enfin $\sigma(X)=\sqrt{5{,}1}\approx2{,}26$.
- a) Il y a $X$ flèches au centre et $40-X$ hors du centre, donc $T=10X+4(40-X)=10X+160-4X=6X+160$.
b) $E(T)=6E(X)+160=6\times34+160=364$.
$V(T)=6^2V(X)=36\times5{,}1=183{,}6$ et $\sigma(T)=6\,\sigma(X)=\sqrt{183{,}6}\approx13{,}55$.
$E(X)=34$, $V(X)=5{,}1$ ; $E(T)=364$, $V(T)=183{,}6$, $\sigma(T)\approx13{,}55$