On considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ dont les lois sont données ci-dessous.
| $x$ | $0$ | $1$ |
|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $0{,}6$ | $0{,}4$ |
| $y$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| $P(Y=y)$ | $0{,}2$ | $0{,}5$ | $0{,}3$ |
On pose $S=X+Y$.
- Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $S$.
- Déterminer la loi de $S$.
- Calculer $E(S)$ à partir de la loi de $S$, puis retrouver ce résultat par linéarité de l'espérance.
Lister les six couples $(x,y)$ possibles et la somme associée à chacun.
Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, $P(X=x,Y=y)=P(X=x)\times P(Y=y)$.
Pour une même valeur de $S$, additionner les probabilités de tous les couples qui donnent cette valeur.
-
$X$ prend les valeurs $0$ et $1$, $Y$ les valeurs $1$, $2$ et $3$. Les sommes possibles sont $0+1=1$, $0+2=2$, $0+3=3$, $1+1=2$, $1+2=3$ et $1+3=4$. Donc $S$ prend les valeurs $1$, $2$, $3$ et $4$.
-
Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc pour tous $x$ et $y$ : $P(X=x,Y=y)=P(X=x)\times P(Y=y)$.
- $P(S=1)=P(X=0,Y=1)=0{,}6\times0{,}2=0{,}12$ ;
- $P(S=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0{,}6\times0{,}5+0{,}4\times0{,}2=0{,}30+0{,}08=0{,}38$ ;
- $P(S=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0{,}6\times0{,}3+0{,}4\times0{,}5=0{,}18+0{,}20=0{,}38$ ;
- $P(S=4)=P(X=1,Y=3)=0{,}4\times0{,}3=0{,}12$.
| $s$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(S=s)$ | $0{,}12$ | $0{,}38$ | $0{,}38$ | $0{,}12$ |
Vérification : $0{,}12+0{,}38+0{,}38+0{,}12=1$.
- À partir de la loi de $S$ : $$E(S)=1\times0{,}12+2\times0{,}38+3\times0{,}38+4\times0{,}12=0{,}12+0{,}76+1{,}14+0{,}48=2{,}5.$$ Par linéarité : $E(X)=0\times0{,}6+1\times0{,}4=0{,}4$ et $E(Y)=1\times0{,}2+2\times0{,}5+3\times0{,}3=0{,}2+1+0{,}9=2{,}1$. Donc $E(S)=E(X)+E(Y)=0{,}4+2{,}1=2{,}5$.
Les deux calculs donnent $E(S)=2{,}5$.
$P(S=1)=0{,}12$, $P(S=2)=0{,}38$, $P(S=3)=0{,}38$, $P(S=4)=0{,}12$ ; $E(S)=2{,}5$