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Terminale › Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres › Construire un intervalle de fluctuation avec Bienaymé-Tchebychev

Construire un intervalle de fluctuation avec Bienaymé-Tchebychev : méthode (Terminale spé)

Méthode

Construire un intervalle de fluctuation avec Bienaymé-Tchebychev

On cherche un intervalle centré en $\mu$ qui contient $X$ avec une probabilité au moins $1-\alpha$ ($\alpha$ est le risque).

  1. Calculer $\mu=E(X)$ et $V=V(X)$.
  2. Chercher $\delta>0$ tel que $\dfrac{V}{\delta^2}\leq\alpha$, c'est-à-dire $\delta^2\geq\dfrac V\alpha$, soit $\delta\geq\sqrt{\dfrac V\alpha}$.
  3. Conclure : $P(\mu-\delta<X<\mu+\delta)\geq1-\alpha$. Si $X$ ne prend que des valeurs entières, traduire l'intervalle en entiers.
Exemple

Intervalle au seuil de 90 %

On reprend $X\sim\mathcal{B}(100\,;0{,}5)$ et on veut une probabilité au moins $0{,}9$, soit $\alpha=0{,}1$.

Il faut $\delta^2\geq\dfrac{25}{0{,}1}=250$, soit $\delta\geq\sqrt{250}\approx15{,}8$. On prend $\delta=16$ : $\dfrac{25}{256}\approx0{,}098\leq0{,}1$.

Donc $P(34<X<66)\geq0{,}9$. Comme $X$ est entière, $34<X<66$ équivaut à $35\leq X\leq65$ : $$P(35\leq X\leq65)\geq0{,}9.$$

Remarque

Portée de l'inégalité

  • L'inégalité est valable pour toute variable aléatoire dont on connaît seulement l'espérance et la variance. C'est sa force ; en contrepartie, la majoration est souvent grossière.
  • Si $\delta\leq\sigma$, on a $\dfrac{V}{\delta^2}\geq1$ et l'inégalité n'apporte aucune information.
  • L'inégalité reste vraie avec $|X-\mu|>\delta$ à la place de $|X-\mu|\geq\delta$, puisque $\{|X-\mu|>\delta\}\subset\{|X-\mu|\geq\delta\}$.

S’entraîner

Dans le cours

Sommes de variables aléatoires, loi des grands nombres : Construire un intervalle de fluctuation avec Bienaymé-Tchebychev