Caractérisation de la coplanarité : énoncé (Terminale spé)
Caractérisation de la coplanarité
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : $$\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}.$$
Démonstration : Caractérisation de la coplanarité
Preuve
Soit $O$ un point et $A$, $B$, $C$ tels que $\overrightarrow{OA} = \vec{u}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{v}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{w}$. Comme $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, $O$, $A$, $B$ ne sont pas alignés et le plan $(OAB)$ est le plan passant par $O$ dirigé par $(\vec{u}, \vec{v})$.
Les vecteurs sont coplanaires si et seulement si $C \in (OAB)$, c'est-à-dire si et seulement si il existe $a$, $b$ réels tels que $\overrightarrow{OC} = a\vec{u} + b\vec{v}$, soit $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
Coplanarité sans plan visible
Dans le cube $ABCDEFGH$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{EG}$ sont coplanaires, car on a vu que $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
Pourtant, les points $A$, $B$, $D$, $E$, $G$ ne sont pas dans un même plan. La coplanarité porte sur les vecteurs, pas sur les représentants dessinés : en plaçant les trois vecteurs à partir de $A$, on obtient $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AC}$ (car $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$), qui sont bien dans le plan $(ABC)$.
S’entraîner
Dans le cours
Vecteurs, droites et plans de l'espace : Caractérisation de la coplanarité