Décomposition d'un vecteur dans une base : énoncé (Terminale spé)

Existence. Soit $O$ un point et $M$ le point tel que $\overrightarrow{OM} = \vec{w}$. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $O$ dirigé par $(\vec{i}, \vec{j})$ (ces vecteurs ne sont pas colinéaires, sinon $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ seraient coplanaires). Soit $\Delta$ la droite passant par $M$ de vecteur directeur $\vec{k}$.

Comme $\vec{k}$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec{i}$ et $\vec{j}$, la droite $\Delta$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$ : elle le coupe en un point $M'$. Comme $M' \in \mathcal{P}$, il existe $x$, $y$ tels que $\overrightarrow{OM'} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Comme $M$ et $M'$ sont sur $\Delta$, il existe $z$ tel que $\overrightarrow{M'M} = z\vec{k}$. Par Chasles : $$\vec{w} = \overrightarrow{OM'} + \overrightarrow{M'M} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}.$$

Unicité. Supposons $x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$. Alors : $$(x - x')\vec{i} + (y - y')\vec{j} + (z - z')\vec{k} = \vec{0}.$$ Si $z \neq z'$, on obtient $\vec{k} = -\dfrac{x - x'}{z - z'}\vec{i} - \dfrac{y - y'}{z - z'}\vec{j}$ : $\vec{k}$ serait combinaison linéaire de $\vec{i}$ et $\vec{j}$, donc les trois vecteurs seraient coplanaires, ce qui est faux. Donc $z = z'$ et $(x - x')\vec{i} + (y - y')\vec{j} = \vec{0}$.

Si $x \neq x'$, $\vec{i}$ serait colinéaire à $\vec{j}$, ce qui est faux. Donc $x = x'$, puis $(y - y')\vec{j} = \vec{0}$ avec $\vec{j} \neq \vec{0}$, donc $y = y'$.