Dans un repère de l'espace, on considère les points $A(1 ; 0 ; 2)$, $B(2 ; 1 ; 0)$, $C(0 ; 2 ; 1)$ et, pour tout réel $m$, le point $D_m(3 ; 0 ; m)$.
- Montrer que les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.
- Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle les points $A$, $B$, $C$, $D_m$ sont coplanaires. Pour cette valeur, exprimer $\overrightarrow{AD_m}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
- Que peut-on dire du triplet $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD_m})$ pour les autres valeurs de $m$ ?
Les points sont coplanaires si et seulement si $\overrightarrow{AD_m}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Les deux premières équations du système ne contiennent pas $m$ : elles déterminent $a$ et $b$.
La troisième équation fournit alors une condition sur $m$.
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$\overrightarrow{AB}(1 ; 1 ; -2)$ et $\overrightarrow{AC}(-1 ; 2 ; -1)$. Si $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$, la première coordonnée impose $k = -1$, mais alors la deuxième vaudrait $-1 \neq 2$. Les vecteurs ne sont pas colinéaires : $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés et définissent le plan $(ABC)$ dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
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$\overrightarrow{AD_m}(2 ; 0 ; m - 2)$. Les points sont coplanaires si et seulement si il existe des réels $a$, $b$ tels que $\overrightarrow{AD_m} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire : $$\begin{cases} a - b = 2 \\ a + 2b = 0 \\ -2a - b = m - 2 \end{cases}$$ En soustrayant la première ligne à la deuxième : $3b = -2$, donc $b = -\dfrac{2}{3}$, puis $a = 2 + b = \dfrac{4}{3}$. La troisième ligne devient : $$-\dfrac{8}{3} + \dfrac{2}{3} = -2 = m - 2 \iff m = 0.$$ Les points $A$, $B$, $C$, $D_m$ sont coplanaires si et seulement si $m = 0$, et alors $\overrightarrow{AD_0} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
Vérification : $\dfrac{4}{3}(1 ; 1 ; -2) - \dfrac{2}{3}(-1 ; 2 ; -1) = \left(\dfrac{6}{3} ; 0 ; -\dfrac{6}{3}\right) = (2 ; 0 ; -2)$, qui sont bien les coordonnées de $\overrightarrow{AD_0}$.
- Pour $m \neq 0$, le système n'a pas de solution : $\overrightarrow{AD_m}$ n'est pas combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (non colinéaires), donc les trois vecteurs ne sont pas coplanaires. Le triplet $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD_m})$ est alors une base de l'espace.
$m = 0$, avec $\overrightarrow{AD_0} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ ; base pour $m \neq 0$