Choisir les ordres dans un produit : méthode (MPSI)
Choisir les ordres dans un produit
Si le premier terme non nul de $f$ est de degré $p$ et celui de $g$ de degré $q$, on écrit $f(x)=x^pA(x)$ et $g(x)=x^qB(x)$. Alors $fg=x^{p+q}AB$ : pour obtenir $fg$ à l'ordre $n$, il suffit d'avoir $A$ et $B$ à l'ordre $n-p-q$, c'est-à-dire $f$ à l'ordre $n-q$ et $g$ à l'ordre $n-p$.
Développer trop loin n'est pas faux mais alourdit ; développer trop peu donne un résultat faux ou incomplet.
$e^x\sin x$ à l'ordre 3
Ici $p=0$ pour $e^x$ et $q=1$ pour $\sin x$ : il faut $e^x$ à l'ordre $2$ et $\sin x$ à l'ordre $3$. $$e^x\sin x=\left(1+x+\frac{x^2}2+o(x^2)\right)\left(x-\frac{x^3}6+o(x^3)\right).$$ Le produit $o(x^2)\cdot x$ est un $o(x^3)$. On garde les produits de degré au plus $3$ : $x+x^2+\frac{x^3}2-\frac{x^3}6$. Donc $$e^x\sin x=x+x^2+\frac{x^3}3+o(x^3).$$