Calculer les limites suivantes à l'aide d'équivalents.
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$\lim_{x\to0}\dfrac{\tan(3x)\,(e^x-1)}{\ln(1+x^2)}$
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$\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos(2x)}{x\sin x}$
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$\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\dfrac3x\right)$
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$\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\arctan x}$
Remplacer chaque facteur par un équivalent simple, en substituant $3x$, $x^2$ ou $2x$ à la variable des équivalents usuels.
Pour 3), poser $u=\frac3x$, qui tend vers $0$.
Pour 4), $\sqrt{1+x}-1=(1+x)^{1/2}-1$.
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Par substitution $u=3x\to0$ dans $\tan u\sim u$, on a $\tan(3x)\sim3x$. De plus $e^x-1\sim x$ et, par substitution $u=x^2\to0$, $\ln(1+x^2)\sim x^2$. Par produit et quotient, pour $x\neq0$ voisin de $0$ : $$\frac{\tan(3x)(e^x-1)}{\ln(1+x^2)}\sim\frac{3x\cdot x}{x^2}=3.$$ Une quantité équivalente à la constante $3$ tend vers $3$. La limite vaut $3$.
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Avec $1-\cos u\sim\frac{u^2}2$ et $u=2x\to0$ : $1-\cos(2x)\sim\frac{4x^2}2=2x^2$. Par ailleurs $x\sin x\sim x\cdot x=x^2$. Le quotient est équivalent à $2$ : la limite vaut $2$.
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Quand $x\to+\infty$, $\frac3x\to0$, donc $\ln\left(1+\frac3x\right)\sim\frac3x$ et $x\ln\left(1+\frac3x\right)\sim x\cdot\frac3x=3$. La limite vaut $3$.
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$(1+x)^{1/2}-1\sim\frac x2$ et $\arctan x\sim x$. Le quotient est équivalent à $\frac12$ : la limite vaut $\frac12$.
$3$ ; $2$ ; $3$ ; $\frac12$