Inverse et quotient : énoncé (MPSI)

$\cos x=1-v$ avec $v=\frac{x^2}2-\frac{x^4}{24}+o(x^4)$, $v\to0$ et $v=O(x^2)$. Donc $\frac1{1-v}=1+v+v^2+o(v^2)$, avec $o(v^2)=o(x^4)$ et $v^2=\frac{x^4}4+o(x^4)$ : $$\frac1{\cos x}=1+\frac{x^2}2-\frac{x^4}{24}+\frac{x^4}4+o(x^4)=1+\frac{x^2}2+\frac{5x^4}{24}+o(x^4).$$ Ensuite $\sin x=x\left(1-\frac{x^2}6+\frac{x^4}{120}+o(x^4)\right)$, donc $$\tan x=x\left(1-\frac{x^2}6+\frac{x^4}{120}\right)\left(1+\frac{x^2}2+\frac{5x^4}{24}\right)+o(x^5).$$ Coefficient de $x^2$ dans le produit des parenthèses : $-\frac16+\frac12=\frac13$. Coefficient de $x^4$ : $\frac1{120}-\frac1{12}+\frac5{24}=\frac{1-10+25}{120}=\frac{16}{120}=\frac2{15}$. Donc $$\tan x=x+\frac{x^3}3+\frac{2x^5}{15}+o(x^5).$$ Contrôle : $\tan$ est impaire, seuls des degrés impairs apparaissent. Comme $\tan$ est de classe $\mathcal C^\infty$, elle admet un $\mathrm{DL}_6(0)$ dont le coefficient de $x^6$ est nul par imparité : le reste est même $o(x^6)$.

$\sin x=x\left(1-\frac{x^2}6+o(x^2)\right)$ : il a fallu le DL de $\sin$ à l'ordre $3$ pour obtenir la parenthèse à l'ordre $2$. Pour $x\neq0$ : $$\frac x{\sin x}=\frac1{1-w},\qquad w=\frac{x^2}6+o(x^2).$$ Comme $w^2=O(x^4)=o(x^2)$, $\frac1{1-w}=1+w+o(x^2)$, d'où $\frac x{\sin x}=1+\frac{x^2}6+o(x^2)$.