Prépa, 1re année › Analyse asymptotique › Somme et produit
Somme et produit : énoncé (MPSI)
Propriété
Somme et produit
Si $f(x)=P(x)+o(x^n)$ et $g(x)=Q(x)+o(x^n)$ avec $P$, $Q$ polynômes de degré au plus $n$, alors :
- $f+g$ admet un $\mathrm{DL}_n(0)$ de partie régulière $P+Q$ ;
- $fg$ admet un $\mathrm{DL}_n(0)$ dont la partie régulière est le polynôme $PQ$ tronqué au degré $n$ (on supprime les termes de degré strictement supérieur à $n$).
Démonstration : Somme et produit
Démonstration
Produit
On a $f(x)g(x)=P(x)Q(x)+P(x)\,o(x^n)+Q(x)\,o(x^n)+o(x^n)\,o(x^n)$. Les polynômes $P$ et $Q$ sont bornés au voisinage de $0$, donc $P(x)\,o(x^n)=o(x^n)$ et $Q(x)\,o(x^n)=o(x^n)$. De plus $o(x^n)\,o(x^n)=o(x^{2n})=o(x^n)$. Enfin, les termes de $PQ$ de degré strictement supérieur à $n$ sont des $o(x^n)$.