Soit $f(x)=\dfrac x{e^x-1}$ pour $x\neq0$.
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Montrer que $f$ se prolonge par continuité en $0$. On note encore $f$ ce prolongement.
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Déterminer le développement limité de $f$ à l'ordre $3$ en $0$.
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En déduire que $f$ est dérivable en $0$, donner l'équation de la tangente en $0$ et la position locale de la courbe par rapport à cette tangente.
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Montrer que $x\mapsto f(x)+\frac x2$ est paire et vérifier la cohérence avec le résultat de 2).
Pour 1), utiliser l'équivalent usuel de $e^x-1$.
Pour 2), factoriser $e^x-1$ par $x$ : à quel ordre faut-il développer $e^x$ pour connaître la parenthèse à l'ordre $3$ ?
Écrire ensuite $f(x)=\frac1{1+w}$ avec $w\to0$ et $w=O(x)$.
Pour 4), simplifier $f(x)+\frac x2$ en une seule fraction, puis multiplier numérateur et dénominateur de $f(-x)-\frac x2$ par $e^x$.
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$e^x-1\sim x$ en $0$, donc $f(x)\sim\frac xx=1$ et $f(x)\to1$. On prolonge en posant $f(0)=1$.
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La division par $x$ fait perdre un ordre : on utilise $e^x$ à l'ordre $4$. $$e^x-1=x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6+\frac{x^4}{24}+o(x^4)=x\,(1+w),\qquad w=\frac x2+\frac{x^2}6+\frac{x^3}{24}+o(x^3).$$ Pour $x\neq0$, $f(x)=\frac1{1+w}$, avec $w\to0$ et $w=O(x)$, donc $o(w^3)=o(x^3)$ et $$\frac1{1+w}=1-w+w^2-w^3+o(x^3).$$ À l'ordre $3$ : $w^2=\frac{x^2}4+2\cdot\frac x2\cdot\frac{x^2}6+o(x^3)=\frac{x^2}4+\frac{x^3}6+o(x^3)$ et $w^3=\frac{x^3}8+o(x^3)$. Donc $$f(x)=1-\frac x2-\frac{x^2}6-\frac{x^3}{24}+\frac{x^2}4+\frac{x^3}6-\frac{x^3}8+o(x^3).$$ Coefficient de $x^2$ : $-\frac16+\frac14=\frac1{12}$. Coefficient de $x^3$ : $\frac{-1+4-3}{24}=0$. L'égalité est aussi vraie en $x=0$ puisque $f(0)=1$. Ainsi $$f(x)=1-\frac x2+\frac{x^2}{12}+o(x^3).$$
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$f$ admet un $\mathrm{DL}_1(0)$ : $f(x)=1-\frac x2+o(x)$. Donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=-\frac12$. La tangente en $0$ a pour équation $y=1-\frac x2$. Par troncature, $f(x)-\left(1-\frac x2\right)=\frac{x^2}{12}+o(x^2)\sim\frac{x^2}{12}$, quantité strictement positive pour $x\neq0$ voisin de $0$ : la courbe est localement au-dessus de sa tangente, sans la traverser.
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Pour $x\neq0$ : $f(x)+\frac x2=\frac{2x+x(e^x-1)}{2(e^x-1)}=\frac{x(e^x+1)}{2(e^x-1)}$. En remplaçant $x$ par $-x$ et en multipliant numérateur et dénominateur par $e^x$ : $$\frac{-x(e^{-x}+1)}{2(e^{-x}-1)}=\frac{-x(1+e^x)}{2(1-e^x)}=\frac{x(e^x+1)}{2(e^x-1)}.$$ La fonction est paire (en $0$ elle vaut $1$). Son DL, $1+\frac{x^2}{12}+o(x^3)$, ne doit contenir que des degrés pairs : c'est bien le cas, en particulier le coefficient de $x^3$ est nul.
$f(x)=1-\frac x2+\frac{x^2}{12}+o(x^3)$ ; tangente $y=1-\frac x2$, courbe au-dessus