Polynômes et croissances comparées : énoncé (MPSI)
Polynômes et croissances comparées
Un polynôme non nul est équivalent en $\pm\infty$ à son terme de plus haut degré, et en $0$ à son terme non nul de plus bas degré. Une fraction rationnelle est équivalente au quotient des équivalents du numérateur et du dénominateur.
Pour $\alpha>0$, $\beta>0$, $\gamma>0$ : $$(\ln x)^\alpha\underset{+\infty}{=}o(x^\beta),\qquad x^\beta\underset{+\infty}{=}o(e^{\gamma x}),\qquad|\ln x|^\alpha\underset{0^+}{=}o\left(\frac1{x^\beta}\right).$$
Calculs d'équivalents et de limites
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Limite en $0$ de $f(x)=\dfrac{(e^{2x}-1)\ln(1+3x)}{1-\cos x}$. Par substitution, $e^{2x}-1\sim2x$ et $\ln(1+3x)\sim3x$ ; de plus $1-\cos x\sim\frac{x^2}2$. Par produit et quotient, $f(x)\sim\dfrac{2x\cdot3x}{x^2/2}=12$, donc $f(x)\to12$.
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En $+\infty$ : $\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\sim\frac1{x^2}$ (substitution $u=\frac1{x^2}\to0$), et $x^3\sin\frac1x\sim x^3\cdot\frac1x=x^2$.
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Le polynôme $x^3-2x^2+5x$ est équivalent à $5x$ en $0$ et à $x^3$ en $+\infty$.
Le point fait partie de la relation
Une relation de comparaison n'a de sens qu'avec son point : $x^2=o(x)$ en $0$, mais $x=o(x^2)$ en $+\infty$. On précise le point dès qu'une ambiguïté est possible. De même, $\sin x\sim x$ est vrai en $0$ et faux en $+\infty$.