Prépa, 1re année › Analyse asymptotique › Substitution (composition à droite)
Substitution (composition à droite) : énoncé (MPSI)
Propriété
Substitution (composition à droite)
Soit $\varphi$ définie sur un intervalle $J$, à valeurs dans $I$, et $b$ adhérent à $J$ tel que $\varphi(t)\xrightarrow[t\to b]{}a$. Si $f=o_a(g)$, alors $f\circ\varphi=o_b(g\circ\varphi)$. Il en est de même pour $O$ et $\sim$.
Cette règle vaut aussi avec une suite : si $f\sim_ag$ et $x_n\to a$, alors $f(x_n)\sim g(x_n)$.
Démonstration : Substitution (composition à droite)
Démonstration
Substitution
On a $f=\varepsilon g$ sur $V\cap I$, avec $\varepsilon\to0$ en $a$. Comme $\varphi(t)\to a$ quand $t\to b$, il existe un voisinage $W$ de $b$ tel que $\varphi(t)\in V$ pour tout $t\in W\cap J$. Alors, sur $W\cap J$, $f(\varphi(t))=\varepsilon(\varphi(t))\,g(\varphi(t))$, et $\varepsilon(\varphi(t))\to0$ quand $t\to b$ par composition des limites.
S’entraîner
- Équivalents simples de suites
- Limites par équivalents usuels
- Développements limités par composition
- Dérivées successives en 0 par développement limité