Équivalents usuels en $0$ : énoncé (MPSI)
Équivalents usuels en $0$
$$\sin x\sim x,\quad\tan x\sim x,\quad\arcsin x\sim x,\quad\arctan x\sim x,\quad\operatorname{sh}x\sim x,$$ $$\ln(1+x)\sim x,\qquad e^x-1\sim x,\qquad(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x\quad(\alpha\in\mathbb R^*),$$ $$1-\cos x\sim\frac{x^2}2,\qquad\operatorname{ch}x-1\sim\frac{x^2}2.$$
Démonstration : Équivalents usuels en $0$
Équivalents usuels
Si $\varphi$ est dérivable en $0$ avec $\varphi'(0)\neq0$, alors $\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}x\to\varphi'(0)$ (taux d'accroissement), donc $\varphi(x)-\varphi(0)\sim\varphi'(0)\,x$. On l'applique à $\sin$, $\tan$, $\arcsin$, $\arctan$, $\operatorname{sh}$, $x\mapsto\ln(1+x)$ et $\exp$, qui ont toutes une dérivée égale à $1$ en $0$, et à $x\mapsto(1+x)^\alpha$, de dérivée $\alpha$ en $0$.
Pour le cosinus : $1-\cos x=2\sin^2\frac x2$ et, par substitution, $\sin\frac x2\sim\frac x2$. Par produit, $1-\cos x\sim2\cdot\frac{x^2}4=\frac{x^2}2$. De même, $\operatorname{ch}x-1=2\operatorname{sh}^2\frac x2\sim\frac{x^2}2$.
S’entraîner
- Équivalents simples de suites
- Limites par équivalents usuels
- Développements limités par somme et produit
- Vrai ou faux sur les relations de comparaison
- Équivalents et limites de suites par DL